Lieux avec argument (2) - Corrigé

Énoncé

Dans le plan complexe, caractériser les ensembles suivants.

1. ${\mathcal{E}}_1=\{\text{M}(z):\arg \left({\displaystyle \frac{z-i}{z+1}}\right)\equiv 0[\pi ]\}$

2. ${\mathcal{E}}_2=\{\text{M}(z):\arg \left({\displaystyle \frac{z+2-i}{z+3-5i}}\right)\equiv {\displaystyle \frac{\pi }{2}}[2\pi ]\}$

3. ${\mathcal{E}}_3=\{\text{M}(z):\arg \left({\displaystyle \frac{z+2i-3}{z-4}}\right)\equiv 0[2\pi ]\}$

4. ${\mathcal{E}}_4=\{\text{M}(z):\arg \left({\displaystyle \frac{z+2i-3}{z-4}}\right)\equiv \pi [2\pi ]\}$

Solution

1. On note $\text{A}$  et $\text{B}$ les points du plan complexe d'affixes $z_{\text{A}}=-1$ et $z_B=i$ .
Soit $z\in \mathbb{C}$ tel que $z\ne -1$ et $z\ne i$ . On a :
$\begin{array}{rl}\text{M}(z)\in {\mathcal{E}}_1& ⟺\arg \left(\frac{z-i}{z+1}\right)\equiv 0[\pi ]\\ & ⟺\arg \left(\frac{z-z_{\text{B}}}{z-z_{\text{A}}}\right)\equiv 0[\pi ]\\ & ⟺(\overrightarrow{\text{A}\text{M}};\overrightarrow{\text{B}\text{M}})\equiv 0[\pi ]\\ & ⟺(\overrightarrow{\text{M}\text{A}};\overrightarrow{\text{M}\text{B}})\equiv 0[\pi ]\end{array}$
donc ${\mathcal{E}}_1$ est la droite $(\text{A}\text{B})$ privée des points $\text{A}$ et $\text{B}$ .

2. On note $\text{A}$  et $\text{B}$ les points du plan complexe d'affixes $z_A=-3+5i$ et $z_B=-2+i$
donc ${\mathcal{E}}_2$ est le cercle de diamètre $[\text{A}\text{B}]$ privé des points $\text{A}$ et $\text{B}$ .

3.  On note $\text{A}$  et $\text{B}$ les points du plan complexe d'affixes $z_{\text{A}}=-4$ et $z_{\text{B}}=3-2i$
donc ${\mathcal{E}}_3$ est la droite $(\text{A}\text{B})$ privée du segment $[\text{A}\text{B}]$ .

4. On note $\text{A}$  et $\text{B}$ les points du plan complexe d'affixes $z_{\text{A}}=-4$ et $z_{\text{B}}=3-2i$
donc ${\mathcal{E}}_4$ est le segment $[\text{A}\text{B}]$ privé des points $\text{A}$ et $\text{B}$ .